{
  "schema_version": 2,
  "experiment_id": "section9-rectangle-grid-v1",
  "provenance": {
    "source_commit": "c1f100b957166b93eca0d214586322d5af71b9cf",
    "execution_context": "git-checkout",
    "repository_dirty_at_start": false,
    "git_status_porcelain_at_start": [],
    "input_sha256": "70349bb959ac7169202cb9304d9e3ce8f414a693626a7a3c06a38ded276269a1",
    "source_files": [
      {
        "role": "experiment.driver",
        "path": "experiments/section9/run.py",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": true,
        "available": true,
        "sha256": "91525e17669887d7863834a3322207088c7ff4dbf4b4f8348a67b529a6142a19"
      },
      {
        "role": "toolkit.variational",
        "path": "packages/volume-toolkit/ideal_poly_volume_toolkit/variational.py",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": true,
        "available": true,
        "sha256": "f964764a992089b3725205d0730d27e1254f2b3b9ea17e73eaccae9465e9a07b"
      },
      {
        "role": "toolkit.geometry",
        "path": "packages/volume-toolkit/ideal_poly_volume_toolkit/geometry.py",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": true,
        "available": true,
        "sha256": "eb01142ad2cc8a9d3018737be59f90c19b6035b2e5d416c75865bf3fad8baf73"
      },
      {
        "role": "experiment.fixture",
        "path": "experiments/section9/fixture.json",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": true,
        "available": true,
        "sha256": "70349bb959ac7169202cb9304d9e3ce8f414a693626a7a3c06a38ded276269a1"
      },
      {
        "role": "experiment.template",
        "path": "experiments/section9/page.html",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": true,
        "available": true,
        "sha256": "fd3e70a21ef81478124742e43fdcffa55a20a4645528f486f788e6a9eec6982f"
      },
      {
        "role": "book.tex",
        "path": "book/polyhedral_volumes_and_geodesic_identities.tex",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": false,
        "available": true,
        "sha256": "3b3b93d26764392353030a30ef4569360d051e0d78d6e5eb7fd6bef1f96de546"
      },
      {
        "role": "book.chapter",
        "path": "book/chapters/09-volume-hessians.tex",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": false,
        "available": true,
        "sha256": "5f61c653a5cd26bfa5e1a5b436c621b7d72436af46abd3d0b63c5cb401483b00"
      },
      {
        "role": "book.reference_pdf",
        "path": "book/reference/polyhedral_volumes_and_geodesic_identities.pdf",
        "location_kind": "project-relative",
        "required": false,
        "available": true,
        "sha256": "40dd069bd2653f9a78666a31f53910d74b7f8de2a4a75d5a5dd62466032a6cd5"
      }
    ],
    "source_sha256": {
      "experiment.driver": "91525e17669887d7863834a3322207088c7ff4dbf4b4f8348a67b529a6142a19",
      "toolkit.variational": "f964764a992089b3725205d0730d27e1254f2b3b9ea17e73eaccae9465e9a07b",
      "toolkit.geometry": "eb01142ad2cc8a9d3018737be59f90c19b6035b2e5d416c75865bf3fad8baf73",
      "experiment.fixture": "70349bb959ac7169202cb9304d9e3ce8f414a693626a7a3c06a38ded276269a1",
      "experiment.template": "fd3e70a21ef81478124742e43fdcffa55a20a4645528f486f788e6a9eec6982f",
      "book.tex": "3b3b93d26764392353030a30ef4569360d051e0d78d6e5eb7fd6bef1f96de546",
      "book.chapter": "5f61c653a5cd26bfa5e1a5b436c621b7d72436af46abd3d0b63c5cb401483b00",
      "book.reference_pdf": "40dd069bd2653f9a78666a31f53910d74b7f8de2a4a75d5a5dd62466032a6cd5"
    },
    "bundle_origin": null,
    "bundle_payload_hashes_match": null,
    "bundle_payload_mismatches": [],
    "python": "3.12.11",
    "numpy": "2.5.4",
    "scipy": "1.18.1",
    "mpmath": "1.3.0",
    "generated_at_utc": "2026-11-01T03:10:06.634684+00:00"
  },
  "statement_labels": [
    "eq:ipolyAngleCoordinates",
    "eq:ipolyHessian",
    "eq:ipolyDtN",
    "eq:ipolySchur",
    "eq:ipolyForestDeterminant"
  ],
  "conventions": {
    "curvature": -1,
    "angle_units": "radians",
    "corner_order": "vertex order in each oriented triangle",
    "deformation": "angle at a in (a,b,c) changes by u_b-u_c; boundary u=0",
    "volume": "sum of ideal tetrahedral volumes obtained by adjoining infinity; binary64 evaluation",
    "boundary_voltage": "x/3, independent of the angle-deformation parameter u",
    "delaunay_scope": "non-strict: each square diagonal has zero cotangent weight",
    "certificate_scope": "exact rational finite matrix/forest identities for this fixture; no strict polyhedral realization certificate"
  },
  "methods": {
    "volume": "canonical geometry.bloch_wigner, binary64",
    "derivatives": "analytic leading-trailing derivatives, binary64",
    "independent_derivative_oracle": "mpmath.diff of Clausen volume at 50 decimal digits",
    "exact_fixture": "Fraction FEM gradients from integer geometry; exhaustive nonzero rooted forests"
  },
  "exact_fixture": {
    "grounded_laplacian": [
      [
        "4",
        "-1"
      ],
      [
        "-1",
        "4"
      ]
    ],
    "det_L_II": "15",
    "det_negative_volume_hessian": "60",
    "rooted_forest_weight_sum": "15",
    "nonzero_rooted_forest_count": 15,
    "eliminated_K_entry": "8",
    "effective_K_entry": "15/2",
    "checks_passed": true
  },
  "numerical": {
    "volume": 10.991587130126629,
    "reference_12_catalan_50_digits": "10.99158713012662818065524217918860932928979249138",
    "gradient": [
      0.0,
      0.0
    ],
    "negative_hessian": [
      [
        8.000000000000002,
        -2.0000000000000004
      ],
      [
        -2.0000000000000004,
        8.000000000000002
      ]
    ],
    "grounded_laplacian": [
      [
        4.000000000000001,
        -1.0000000000000002
      ],
      [
        -1.0000000000000002,
        4.000000000000001
      ]
    ],
    "dirichlet_response": [
      [
        1.0000000000000002,
        -0.5000000000000001,
        -4.082155997157844e-18,
        0.0,
        -0.5000000000000001,
        -4.082155997157844e-18,
        0.0,
        -1.6328623988631376e-17,
        -4.082155997157845e-18,
        -2.4995996377697623e-34
      ],
      [
        -0.5000000000000001,
        1.7333333333333338,
        -0.5666666666666668,
        0.0,
        -0.2666666666666667,
        -0.0666666666666667,
        0.0,
        -0.2666666666666667,
        -0.06666666666666671,
        -4.082155997157845e-18
      ],
      [
        -4.082155997157844e-18,
        -0.5666666666666668,
        1.7333333333333338,
        -0.5000000000000001,
        -0.06666666666666668,
        -0.2666666666666668,
        0.0,
        -0.06666666666666668,
        -0.2666666666666667,
        -1.6328623988631376e-17
      ],
      [
        0.0,
        0.0,
        -0.5000000000000001,
        1.0000000000000002,
        0.0,
        -0.5000000000000001,
        0.0,
        0.0,
        0.0,
        0.0
      ],
      [
        -0.5000000000000001,
        -0.2666666666666667,
        -0.06666666666666668,
        0.0,
        1.7333333333333338,
        -0.06666666666666668,
        -0.5000000000000001,
        -0.2666666666666668,
        -0.0666666666666667,
        -4.082155997157844e-18
      ],
      [
        -4.082155997157844e-18,
        -0.0666666666666667,
        -0.2666666666666668,
        -0.5000000000000001,
        -0.06666666666666668,
        1.7333333333333338,
        0.0,
        -0.06666666666666668,
        -0.2666666666666667,
        -0.5000000000000001
      ],
      [
        0.0,
        0.0,
        0.0,
        0.0,
        -0.5000000000000001,
        0.0,
        1.0000000000000002,
        -0.5000000000000001,
        0.0,
        0.0
      ],
      [
        -1.6328623988631376e-17,
        -0.2666666666666667,
        -0.06666666666666668,
        0.0,
        -0.2666666666666668,
        -0.06666666666666668,
        -0.5000000000000001,
        1.7333333333333338,
        -0.5666666666666668,
        -4.082155997157844e-18
      ],
      [
        -4.082155997157845e-18,
        -0.06666666666666671,
        -0.2666666666666667,
        0.0,
        -0.0666666666666667,
        -0.2666666666666667,
        0.0,
        -0.5666666666666668,
        1.7333333333333338,
        -0.5000000000000001
      ],
      [
        -2.4995996377697623e-34,
        -4.082155997157845e-18,
        -1.6328623988631376e-17,
        0.0,
        -4.082155997157844e-18,
        -0.5000000000000001,
        0.0,
        -4.082155997157844e-18,
        -0.5000000000000001,
        1.0000000000000002
      ]
    ],
    "boundary_vertices": [
      0,
      1,
      2,
      3,
      4,
      7,
      8,
      9,
      10,
      11
    ],
    "boundary_voltage": [
      0.0,
      0.3333333333333333,
      0.6666666666666666,
      1.0,
      0.0,
      1.0,
      0.0,
      0.3333333333333333,
      0.6666666666666666,
      1.0
    ],
    "harmonic_interior_voltage": [
      0.3333333333333333,
      0.6666666666666666
    ],
    "boundary_current": [
      -0.16666666666666669,
      1.1102230246251565e-16,
      1.1102230246251565e-16,
      0.16666666666666674,
      -0.33333333333333337,
      0.3333333333333336,
      -0.16666666666666669,
      5.551115123125783e-17,
      1.1102230246251565e-16,
      0.16666666666666674
    ],
    "energy": 0.6666666666666673,
    "off_origin_parameters": [
      0.05,
      -0.03
    ],
    "off_origin_minimum_angle": 0.7053981633974483,
    "off_origin_hessian": [
      [
        -8.056001449691404,
        2.02587593928867
      ],
      [
        2.02587593928867,
        -8.03669216304014
      ]
    ]
  },
  "checks": {
    "cotangent_vs_independent_fem": {
      "max_abs_error": 8.881784197001252e-16,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "fem_vs_exact_rational_fixture": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "negative_hessian_equals_twice_grounded_laplacian": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "geometric_gradient": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "volume_vs_12_catalan": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "off_origin_negative_hessian_identity": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "off_origin_hessian_vs_50_digit_derivative": {
      "max_abs_error": 1.7763568394002505e-15,
      "tolerance": 1e-11,
      "passed": true
    },
    "dirichlet_response_constant_kernel": {
      "max_abs_error": 2.7347360015913127e-16,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "dirichlet_response_symmetry": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "harmonic_linear_voltage": {
      "max_abs_error": 0.0,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "linear_voltage_energy": {
      "max_abs_error": 6.661338147750939e-16,
      "tolerance": 1e-12,
      "passed": true
    },
    "schur_determinant_factor": {
      "max_abs_error": 3.552713678800501e-14,
      "tolerance": 1e-11,
      "passed": true
    }
  },
  "all_checks_passed": true,
  "scope": {
    "exact": "finite rational matrix and forest calculations on the integer-coordinate fixture",
    "numerical": "binary64 operators and 50-digit derivative comparison, without rigorous enclosures",
    "off_origin": "abstract angle structure; no assertion that its triangles close geometrically",
    "not_claimed": [
      "strict simplicial convex realization",
      "global optimality",
      "nearly-linear solver",
      "full Section 9 proof verification",
      "complete chapter-to-HTML conversion"
    ]
  }
}